定常応答 - malibu-bulldogの日記

今日はゴールデンウィークということもあり、家で振動工学の本を読んでいます。

ある系に外部から周期的な力を与えた場合。

方程式が線形微分方程式、つまり微分方程式の解が普通の関数の線形結合で表せる、というのを条件として。

まず、問題としている系について外力を考えない同次(斉次)方程式の解を見つける。
これについては
2008-04-20 - malibu-bulldogの日記
にも書きました。解（これは一般解）はエクスポテンシャルと三角関数の積になります。

さて、外力が $F_0 \sin( \omega t )$ として。

$mx'' +cx' -kx = F_0 \sin( \omega t)$

の解く。

解き方はエイヤッでいいなら、答えの形を三角関数の和と仮定しちゃって係数を比較してもとまります。

同次（斉次）方程式の一般解と、外力が加わった場合の特殊解が求まったら、ふたつを結合したのがもとめるべき系の解になります。

つまり、最終的に解は

 解 = 一般解の関数 + 特殊解の関数

の形になります。

ここで、一般解は時間が経過するとやがてゼロに近づきます。

そうすると、特殊解の関数の影響が支配的になります。つまり、系の運動は特殊解の関数で決まるようになる。

この特殊解が支配的になった状態を、定常状態というそうです。

もしくは、外力が系に作用した結果の応答にあたるので、定常応答ともいうそうです。